2[计算题,12.5分]
设3元二次型，求正交变换，将二次型化为标准形．

正交矩阵的第一列元素为 ， ， ；

第二列元素为 ， ， ；

第三列元素为 ， ， 。 （若为分数写成小数形式，保留三位有效数字）

标准形为

参考答案： 解：二次型的矩阵为． ， 特征值，，． 对于，解齐次线性方程组： ，，，单位化为； 对于，解齐次线性方程组： ，，，单位化为； 对于，解齐次线性方程组： ，，，单位化为． 令，则P是正交矩阵，使得，经正交变换后，原二次型化为标准形． 正交矩阵的第一列元素为 0.577 ， 0.577 ， 0.577 ； 第二列元素为 -0.707 ， 0 ， 0.707 ； 第三列元素为 0.408 ， -0.816 ， 0.408 。 标准形为